卡尔曼过滤器(Kalman Filter)的基本原理
卡尔曼过滤器主要用于这样一种场景: 根据测量数据(带有一定的误差)来预测运动或者静止物体的属性。比如温度测量，雷达观测等。
卡尔曼滤波器主要分为两个步骤，计算并记录一些中间状态，然后根据中间状态和最新的测量值：
- 更新中间状态（状态更新方程）
- 预测下一个值（状态预测方程） 以一个简单的场景为例，用雷达观测匀速运动的物体的距离。
状态更新方程
$$ \hat{x}_{n,n} = \hat{x}_{n,n-1} + K_n ( z_n - \hat{x}_{n,n-1} ) $$ $$ p_{n,n} = (1-K_n)p_{n,n-1} $$ $$ K_n = \frac{p_{n,n-1}}{\,p_{n,n-1} + r_n\,} $$
- $\hat{x}_{n,n-1}$ 是在$n-1$时刻预测$n$时刻物体的距离
- $\hat{x}_{n,n}$ 是已经拿到$n$时刻的测量值后，对$n$时刻的预测值进行修正
- $z_n$ 是$n$时刻的测量值
- $p_{n,n-1}$ 是$n-1$时刻预测$n$时刻数据的方差
- $r_n$ 是$n$时刻测量数据的方差
- $K_n$ 被称为卡尔曼增益，它可以理解为一个权重，用于更新$n$时刻数值的时，调节观测值和历史预测值的占比。
状态预测方程
状态预测需要对物体的运动进行建模，这里是简单的匀速运动公式，距离等于速度乘以时间。 $$ \hat{x}_{n+1,n} = \hat{x}_{n,n} + \Delta t v $$ $$ p_{n+1,n} = p_{n,n} $$
- $\hat{x}_{n+1,n}$ 是在$n$时刻预测$n+1$时刻的位置
- $v$ 是物体运动的速度，由于这里是匀速运动，所以速度不变。
- $p_{n+1,n}$ 是在$n$时刻预测$n+1$时刻的位置的方差
初始值，输入值，迭代
整个公式实质上就是根据初始值和测量值，不断的更新中间状态，并预测下一个状态。 其中初始值有：
-
$\hat{x}_{0,0}$ 物体的初始位置
-
$p_{0,0}$ 初始位置的方差
-
$r_n$ 每次测量数据的方差
-
$v$ 物体运动速度 这些初始值一般是从测量仪器的说明书中获得，或是直接取经验值。 输入值有：
-
$z_{n}$ 每次的测量数据 迭代： 中间状态的更新是从$(n,n-1)$到$(n,n)$，预测是从$(n,n)$到$(n+1,n)$,不管位置还是速度皆是如此。
总结
卡尔曼滤波器从直观上理解，就是用测量得到的数据不断的去预测并逼近真实值，其中测量值的误差越小，权重$K_n$越大，预测值将会更多的考虑测量值，反之亦然。 另外上述方程省略了过程噪声，而且是一维的情况，一般而言位置会有x,y,z三个值，速度也是，对于多维的情况，上述公式会变成矩阵的形式，方差也会变成协方差矩阵。另外物体运动的建模公式除了线性的公式（匀速运动，加速度运动），还有非线性的情况。但是基本原理就是上述这些。